Tes Kemampuan Akademik (TKA), atau academic ability test adalah salah satu bentuk asesmen yang dikembangkan oleh Pusat Asesmen dan Pembelajaran (Pusmendik), Kementerian Pendidikan Dasar dan Menengah, untuk memotret capaian akademik siswa secara objektif, terukur, dan adil. TKA pertama kali mulai diselenggarakan pada tahun 2025. TKA diselenggarakan sebagai asesmen sukarela yang dapat diikuti oleh siswa dari berbagai jenjang pendidikan. Kehadiran TKA didasarkan pada kebutuhan akan instrumen evaluasi yang terstandar secara nasional sehingga hasilnya tidak hanya menjadi gambaran pencapaian individu, tetapi juga dapat dipakai sebagai tolok ukur dalam mengidentifikasi posisi capaian belajar siswa dibandingkan dengan standar kompetensi yang berlaku. Dengan demikian, TKA tidak dimaksudkan sebagai ujian yang menimbulkan beban, melainkan sebagai sarana diagnosis akademik yang bermanfaat bagi siswa, guru, maupun sekolah.
Lebih jauh, TKA dirancang untuk mengukur kompetensi mendasar yang mencakup pengetahuan dan keterampilan akademik inti, seperti literasi membaca, literasi matematika (numerasi), serta kemampuan berpikir kritis dan pemecahan masalah yang berkaitan dengan berbagai mata pelajaran. Melalui soal-soal yang disusun secara sistematis dan terstandar, asesmen ini tidak hanya menilai kemampuan menghafal, tetapi juga menekankan pada keterampilan berpikir tingkat tinggi (higher order thinking skills). Hasil TKA kemudian dapat digunakan untuk memberikan umpan balik yang konstruktif, baik bagi siswa dalam mengidentifikasi kekuatan dan kelemahannya, maupun bagi guru dalam merancang strategi pembelajaran yang lebih tepat sasaran.
Selain itu, TKA juga memiliki peran strategis dalam mendukung kebijakan pendidikan nasional. Data hasil tes ini dapat menjadi sumber informasi yang kredibel bagi sekolah, pemerintah daerah, maupun pemangku kebijakan di tingkat pusat dalam merumuskan program peningkatan mutu pendidikan. Dengan adanya pelaporan capaian akademik yang bersifat individual, sekolah dapat mengetahui kebutuhan belajar siswanya secara lebih rinci, sementara orang tua dapat memahami perkembangan anaknya secara lebih objektif. Dengan kata lain, TKA hadir bukan hanya untuk menilai, tetapi juga untuk mendorong peningkatan kualitas pembelajaran, penguatan kompetensi dasar siswa, serta penciptaan ekosistem pendidikan yang lebih berkeadilan.
Secara teknis, TKA untuk level SMA dilaksanakan secara daring dengan menggunakan aplikasi CBT, sama seperti penyelenggaraan OSN dan ANBK. Untuk mengikuti TKA, murid SMA akan menghadapi 3 mata pelajaran wajib, yaitu Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris, dan Matematika, serta 2 dari 4 mata pelajaran pilihan yang mereka jalani sebelumnya. Sebagai contoh, jika seorang murid memilih mata pelajaran Sosiologi, Ekonomi, Matematika Tingkat Lanjut, dan Fisika saat pertama kali menginjak kelas XI, maka ia hanya boleh memilih 2 dari 4 mata pelajaran tersebut, misalnya Sosiologi dan Ekonomi, untuk diuji dalam TKA. Kebijakan ini mungkin bakal berubah sewaktu-waktu sehingga perlu ditelaah kembali.
Baca: Soal dan Pembahasan – Tes Kemampuan Akademik (TKA) Matematika Tingkat Lanjut SMA Paket 1
Dari segi format soal, soal TKA tidak hanya berbentuk pilihan ganda biasa, tetapi juga memuat soal berbentuk pilihan ganda kompleks (jawaban benar lebih dari satu). Siswa diminta mencentang pernyataan yang bernilai benar dari beberapa pernyataan yang diberikan atau bisa juga memutuskan apakah pernyataan-pernyataan yang diberikan bernilai benar atau salah pada tabel yang disediakan. Ini berarti, format soal TKA mengadopsi soal Asesmen Kompetensi Minimum (AKM) yang juga tidak hanya memuat soal pilihan ganda. Hal ini berbeda dengan soal Ujian Nasional (UN) yang dulunya diselenggarakan dalam bentuk soal pilihan ganda biasa saja.
Berdasarkan informasi yang beredar, TKA level SMA/MA/Sederajat dan SMK/MAK dilaksanakan selama dua hari. Pada hari pertama, siswa akan menghadapi tes mata pelajaran wajib, yaitu Bahasa Indonesia (45 menit), Matematika (50 menit), dan Bahasa Inggris (45 menit). Sementara itu, pada hari kedua, siswa akan menghadapi tes dua mata pelajaran pilihan, masing-masing diberi durasi pengerjaan selama 60 menit.
Untuk mempersiapkan TKA dengan lebih matang, berikut telah disediakan beberapa contoh soal dan pembahasan TKA mata pelajaran Matematika SMA yang selaras dengan kerangka kisi-kisi yang dikeluarkan pemerintah. Semoga dapat dijadikan sumber belajar untuk meningkatkan pemahaman.
Baca: Soal dan Pembahasan – Tes Kemampuan Akademik (TKA) Matematika Tingkat Lanjut SMA Paket 2
Jika Anda ingin mencari soal latihan yang lebih banyak, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di bit.ly/Akses_Soal. Folder soal tersebut berisi soal UTBK-SNBT, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetensi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.
Hukum Parkinson
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Nilai dari $\dfrac14 + \dfrac74 \times \dfrac{8}{21}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{8}{21}$ C. $\frac{11}{12}$ E. $2\frac{8}{21}$
B. $\frac{8}{11}$ D. $\frac{16}{21}$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac14 + \dfrac{\cancel{7}}{\cancel{4}} \times \dfrac{\cancelto{2}{8}}{\cancelto{3}{21}} & = \dfrac14 + \dfrac23 \\ & = \dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} \\ & = \dfrac{11}{12}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\dfrac14 + \dfrac74 \times \dfrac{8}{21}$ adalah $\boxed{\dfrac{11}{12}}.$
(Jawaban C)
Soal Nomor 2
Diketahui jumlah dua bilangan ganjil positif adalah $40,$ sedangkan selisihnya $6.$
Tentukan pernyataan berikut yang bernilai benar dengan memberi tanda centang ($\checkmark$) pada kotak di depan pernyataan yang benar. Jawaban benar lebih dari satu.
- Nilai bilangan terbesar lebih besar dari $20$
- Nilai bilangan terkecil lebih kecil dari $20$
- Nilai bilangan terbesar bilangan komposit
- Nilai bilangan terkecil bilangan prima
Misalkan dua bilangan ganjil positif tersebut dinotasikan oleh $x$ dan $y$ dengan $x > y$ sehingga diperoleh sistem persamaan linear
$$\begin{cases} x + y & = 40 \\ x-y & = 6 \end{cases}$$Jumlahkan kedua persamaan tersebut sesuai ruasnya sehingga didapat $2x = 46,$ atau disederhanakan menjadi $x = 23.$ Substitusi akan menghasilkan $y = 17.$
Cek Pernyataan 1:
Perhatikan bahwa $x = 23$ merupakan bilangan terbesarnya. Jelas bahwa $x = 23 > 20$ sehingga Pernyataan 1 benar.
Cek Pernyataan 2:
Perhatikan bahwa $y = 17$ merupakan bilangan terkecilnya. Jelas bahwa $y = 17 < 20$ sehingga Pernyataan 2 benar.
Cek Pernyataan 3:
Bilangan komposit adalah bilangan bulat positif yang memiliki lebih dari $2$ faktor positif. Perhatikan bahwa $x = 23$ merupakan bilangan terbesarnya, tetapi $23$ bukan bilangan komposit karena hanya memiliki dua faktor positif. Sebaliknya, $23$ adalah bilangan prima. Dengan demikian, Pernyataan 3 salah.
Cek Pernyataan 4:
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang memiliki tepat $2$ faktor positif. Perhatikan bahwa $y = 17$ merupakan bilangan terkecilnya dan $17$ sendiri merupakan bilangan prima karena hanya habis dibagi oleh $1$ dan $17.$ Dengan demikian, Pernyataan 4 benar.
Jadi, centang ketiga pernyataan berikut karena bernilai benar.
- Nilai bilangan terbesar lebih besar dari $20$
- Nilai bilangan terkecil lebih kecil dari $20$
- Nilai bilangan terkecil bilangan prima
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – SPLDV
Soal Nomor 3
Dalam sebuah pameran, panitia ingin menyusun $420$ suvenir ke dalam beberapa kotak. Setiap kotak harus berisi jumlah yang sama, dan banyaknya suvenir dalam satu kotak harus merupakan bilangan kuadrat sempurna.
Tentukan pernyataan berikut yang bernilai benar dengan memberi tanda centang ($\checkmark$) pada kotak di depan pernyataan yang benar.
- Banyak kotak maksimal yang diperlukan panitia adalah $420$ kotak.
- Banyak kotak minimal yang diperlukan panitia adalah $105$ kotak.
- Jika setiap kotak berisi $9$ suvenir, akan ada $6$ suvenir yang tersisa.
Perhatikan bahwa bilangan kuadrat sempurna yang merupakan faktor dari $$420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$$ adalah $1$ dan $4.$
Cek Pernyataan 1:
Jika setiap kotak hanya memuat $1$ suvenir, maka akan ada $420$ kotak yang dapat dibuat. Ini merupakan jumlah maksimal kotak yang diperlukan. Dengan demikian, Pernyataan 1 bernilai benar.
Cek Pernyataan 2:
Jika setiap kotak memuat $4$ suvenir, maka akan ada $420 \div 4 = 105$ kotak yang dapat dibuat. Ini merupakan jumlah minimal kotak yang diperlukan. Dengan demikian, Pernyataan 2 bernilai benar.
Cek Pernyataan 3:
Jika setiap kotak berisi $9$ suvenir, maka akan ada $6$ suvenir tersisa karena $9 \times 46 = 414 < 420.$ Dengan demikian, Pernyataan 3 bernilai benar.
Jadi, centang ketiga pernyataan berikut karena bernilai benar.
- Banyak kotak maksimal yang diperlukan panitia adalah $420$ kotak.
- Banyak kotak minimal yang diperlukan panitia adalah $105$ kotak.
- Jika setiap kotak berisi $9$ suvenir, akan ada $6$ suvenir yang tersisa.
[collapse]
Soal Nomor 4
Lili akan memproduksi dua jenis kue dengan modal Rp8.000.000. Biaya produksi kue bolu sebesar Rp15.000 per kotak dan dijual dengan laba $40\%.$ Sementara itu, biaya produksi kue brownies sebesar Rp20.000 per kotak dan dijual dengan laba $35\%.$ Setiap harinya, Lili dapat memproduksi paling banyak $500$ kotak kue.
Jika Lili ingin memperoleh keuntungan maksimum, tentukan pernyataan berikut yang bernilai benar dengan memberi tanda centang ($\checkmark$) pada kotak di depan pernyataan yang benar.
- Lili harus memproduksi $200$ kotak kue bolu.
- Lili harus memproduksi kue brownies lebih banyak.
- Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh Lili adalah Rp3.100.000,00.
Misalkan banyaknya kotak kue bolu dan kue brownies berturut-turut dinotasikan sebagai $x$ dan $y$. Dengan demikian, dapat dibentuk sistem pertidaksamaan linear berdasarkan tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{K1} & \text{K2} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \leq 500 \\ \text{Biaya} & 15.000 & 20.000 & \leq 8.000.000 \\ \hline \end{array}$$ $\begin{cases} x+y \leq 500 \\ 15.000x + 20.000y & \leq 8.000.000 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
atau dapat disederhanakan menjadi
$\begin{cases} x+y \leq 500 \\ 3x + 4y \leq 1.600 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
yang merupakan kendala dari fungsi objektif $$P = 40\%(15.000)x + 35\%(20.000)y = 6.000x + 7.000y.$$ Dalam hal ini, akan dicari nilai maksimum dari $P$ dengan uji titik pojok daerah penyelesaiannya.
Gambarkan grafik dari sistem pertidaksamaan linear di atas pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.
Titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $A,(0, 0),$ $B(500, 0),$ $C(400, 100),$ dan $D(0, 400).$ Uji keempat titik pojoknya pada fungsi objektif $P = 6.000x + 7.000y$ dengan menggunakan tabel seperti di bawah.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 6.000x + 7.000y \\ \hline A(0, 0) & 0 \\ B(500,0) & 3.000.000 \\ \color{green}{C(400, 100)} & \color{green}{3.100.000} \\ D\left(0, 400\right) & 2.800.000 \\ \hline \end{array}$
Cek Pernyataan 1:
Untuk memperoleh keuntungan maksimum berdasarkan tabel di atas, Lili justru harus membuat $400$ kotak kue bolu, bukan $200$ kotak kue bolu, sehingga keuntungan maksimum yang diperolehnya sebesar Rp3.100.000. Dengan demikian, Pernyataan 1 salah.
Cek Pernyataan 2:
Dari tabel di atas, keuntungan maksimum tercapai ketika Lili memproduksi $400$ kotak kue bolu dan $100$ kotak kue brownies. Ini berarti, kue brownies-nya lebih sedikit dibandingkan kue bolu. Dengan demikian, Pernyataan 2 salah.
Cek Pernyataan 3:
Dari tabel di atas, terlihat bahwa keuntungan maksimum yang dapat dicapai Lili adalah Rp3.100.000. Dengan demikian, Pernyataan 3 bernilai benar.
Jadi, centang pernyataan berikut karena bernilai benar.
- Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh Lili adalah Rp3.100.000,00.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Program Linear (Tingkat SMA/Sederajat)
Soal Nomor 5
Rata-rata nilai ujian $17$ murid adalah $83.$ Ada $3$ murid yang mengikuti ujian susulan sehingga rata-rata nilai ujian dari $20$ murid menjadi $82.$
Tentukan pernyataan berikut yang bernilai benar dengan memberi tanda centang ($\checkmark$) pada kotak di depan pernyataan yang benar terkait dengan nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan. Jawaban benar lebih dari satu.
- Jumlah nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan adalah $229.$
- Rata-rata nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan lebih dari $70.$
- Nilai terendah dari ketiga murid yang mengikuti ujian susulan tidak kurang dari $29.$
- Nilai tertinggi dari ketiga murid yang mengikuti ujian susulan lebih dari $76.$
- Jangkauan data nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan lebih dari $71.$
Total nilai ujian $17$ murid adalah $17 \times 83 = 1.411.$ Setelah ditambah dengan $3$ murid yang ikut ujian susulan, total nilai berubah menjadi $20 \times 82 = 1.640.$ Artinya, selisihnya akan menjadi total nilai yang diperoleh ketiga murid yang susulan tersebut, yaitu $1.640-1.411 = 229.$
Cek Pernyataan 1:
Jumlah nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan adalah $229.$ Ini adalah pernyataan yang benar sesuai dengan perhitungan di atas.
Cek Pernyataan 2:
Rata-rata ketiga murid yang mengikuti ujian susulan adalah $\dfrac{229}{3} > \dfrac{210}{3} = 70.$ Dengan demikian, Pernyataan 2 juga benar.
Cek Pernyataan 3:
Andaikan dua murid yang ikut susulan memperoleh nilai $100.$ Akibatnya, nilai murid yang satunya lagi adalah $229-2\times 100 = 29.$ Ini adalah nilai terendah yang mungkin diperoleh. Dengan demikian, pernyataan bahwa nilai terendah dari ketiga murid yang mengikuti ujian susulan tidak kurang dari $29$ adalah pernyataan yang benar.
Cek Pernyataan 4:
Perhatikan bahwa $229 = 3 \times 76 + 1.$ Ini berarti, kombinasi nilai dari ketiga murid yang ikut susulan agar nilainya sedekat mungkin adalah $77, 76, 76.$ Dengan demikian, pernyataan bahwa nilai tertinggi dari ketiga murid yang mengikuti ujian susulan lebih dari $76$ adalah pernyataan yang benar.
Cek Pernyataan 5:
Andaikan dua murid yang ikut susulan memperoleh nilai $100.$ Akibatnya, nilai murid yang satunya lagi adalah $229-2\times 100 = 29.$ Ini adalah nilai terendah yang mungkin diperoleh sehingga kombinasi nilai mereka adalah $100, 100, 29.$ Data ini menunjukkan jangkauan tertinggi yang dapat terjadi, yaitu $100-29 = 71.$ Dengan demikian, pernyataan bahwa jangkauan data nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan lebih dari $71$ adalah keliru.
Jadi, centang keempat pernyataan berikut karena bernilai benar.
- Jumlah nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan adalah $229.$
- Rata-rata nilai ketiga murid yang mengikuti ujian susulan lebih dari $70.$
- Nilai terendah dari ketiga murid yang mengikuti ujian susulan tidak kurang dari $29.$
- Nilai tertinggi dari ketiga murid yang mengikuti ujian susulan lebih dari $76.$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Statistika
Soal Nomor 6
Dalam rangka memperingati Hari Guru, suatu sekolah akan melaksanakan pentas seni drama. Pentas seni drama akan diadakan dalam sebuah gedung. Untuk membuat nyaman penonton, pihak gedung menyediakan tempat duduk yang terdiri atas beberapa baris. Setiap baris memiliki jumlah tempat duduk yang berbeda. Baris kedua memuat $32$ kursi, baris kesepuluh terdapat $48$ kursi. Jika banyaknya kursi pada setiap baris tersebut membentuk barisan aritmetika, baris keberapakah yang memuat $68$ kursi?
A. $10$ C. $20$ E. $25$
B. $12$ D. $24$
Misalkan banyaknya kursi pada baris ke-$n$ dinotasikan oleh $\text{U}_n.$ Karena membentuk barisan aritmetika, haruslah $\text{U}_n = a + (n-1)b$ dengan $\text{U}_1 = a$ dan $b$ menyatakan beda kursi antarbaris yang berdekatan. Ini berarti, $\text{U}_2 = a + b = 32$ dan $\text{U}_{10} = a + 9b = 48.$ Eliminasi akan menghasilkan $8b = 16$ sehingga $b = 2.$ Akibatnya, $a = 32-2 = 30.$
Misalkan baris ke-$m$ memuat $68$ kursi. Ini berarti,
$$\begin{aligned} \text{U}_m & = 68 \\ a + (m-1) b & = 68 \\ 30 + (m-1) \cdot 2 & = 68 \\ (m-1) \cdot 2 & = 38 \\ m-1 & = 19 \\ m & = 20. \end{aligned}$$Jadi, baris yang memuat $68$ kursi adalah baris ke-20.
(Jawaban C)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi (Soal Cerita) Barisan dan Deret Aritmetika
Soal Nomor 7
Diketahui data terurut $x_1, x_2, x_3, x_4.$ Jangkauan, median dan mean data tersebut adalah $6.$ Hasil kali antara nilai terkecil dan nilai terbesar data tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $24$ C. $30$ E. $36$
B. $27$ D. $32$
Perhatikan bahwa jangkauan ditentukan oleh $x_4 -x_1 = 6,$ atau dapat ditulis $x_4 = 6 + x_1.$ Kemudian, mediannya adalah $\dfrac{x_2+x_3}{2} = 6$ sehingga $\color{red}{x_2 + x_3} = 12.$ Terakhir, meannya dinyatakan oleh
$$\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4} = 6 \Rightarrow x_1+\color{red}{x_2+x_3}+x_4 = 24.$$Dengan demikian, substitusi akan menghasilkan
$$\begin{aligned} x_1 + 12 + (6 + x_1) & = 24 \\ 2x_1 + 18 & = 24 \\ 2x_1 & = 6 \\ x_1 & = 3. \end{aligned}$$Akibatnya, diperoleh $x_4 = 6 + 3 = 9.$ Nilai terkecil dan terbesar dari data tersebut berturut-turut adalah $3$ dan $9$ sehingga hasil kalinya $\boxed{3 \cdot 9 = 27}.$
(Jawaban B)
Soal Nomor 8
Diberikan kubus $PQRS.TUVW$. Bila panjang rusuknya $8~\text{cm}$, maka nilai tangen sudut antara garis $TR$ dengan garis $PS$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sqrt3$ D. $\dfrac12\sqrt3$
B. $\sqrt2$ E. $\dfrac12\sqrt2$
C. $\dfrac12\sqrt6$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Sudut antara garis $TR$ dan garis $PS$ sama dengan sudut antara garis $TR$ dan garis $QR$.
Perhatikan bahwa segitiga $TQR$ merupakan segitiga siku-siku di $Q$.
Diketahui bahwa panjang $QT$ merupakan diagonal bidang kubus sehingga $QT = 8\sqrt2~\text{cm}$, sedangkan $QR = 8~\text{cm}.$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \tan \angle(TR, QR) & = \dfrac{QT}{QR} \\ & = \dfrac{8\sqrt2}{8} = \sqrt2. \end{aligned}$
Jadi, nilai tangen sudut antara garis $TR$ dengan garis $PS$ adalah $\boxed{\sqrt2}.$
(Jawaban B)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Dimensi Tiga (Konsep Sudut)
Soal Nomor 9
Gambar berikut merupakan grafik fungsi dari $f(x)$ dan $g(x)$.
Nilai komposisi fungsi $(f \circ g)(4)$ dari grafik fungsi tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $-18$ C. $-1$ E. $6$
B. $-3$ D. $5$
Grafik fungsi $g$ berupa garis lurus yang melalui titik $(-2, 0)$ dan $(2, 0)$. Persamaan garisnya adalah $-2y + 2x = (-2)(2)$ atau ekuivalen dengan $g(x) = y = x + 2.$
Grafik fungsi $f$ berupa parabola yang memotong sumbu $X$ di titik $(1, 0)$ dan $(5, 0)$, serta melalui titik $(0, 5)$. Fungsi kuadrat yang memotong sumbu $X$ di dua titik berbeda dirumuskan oleh $y = a(x-x_1)(x-x_2).$
Anggap $a = 1$ sehingga kita peroleh $y = (x-1)(x-5).$
Cek: Jika kita substitusikan $x = 0$ dan $y = 5$ (karena grafiknya melalui titik $(0, 5)$), kita peroleh $5 = (0-1)(0-5) = (-1)(-5)$, merupakan pernyataan yang benar. Dengan demikian, $f(x) = (x-1)(x-5).$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} (f \circ g)(4) & = f(g(4)) \\ & = f(4 + 2) \\ & = f(6) \\ & = (6-1)(6-5) \\ & = 5(1) = 5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{(f \circ g)(4) = 5}.$
(Jawaban D)
Baca: Soal dan Pembahasan – Komposisi dan Invers Fungsi
Soal Nomor 10
Gambar di bawah menunjukkan dua buah persegi panjang yang saling sebangun. Nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $4,\!5$ C. $7,\!0$ E. $8,\!0$
B. $6,\!0$ D. $7,\!5$
Dari gambar yang diberikan, panjang dari persegi panjang pertama sebanding dengan lebar persegi panjang kedua, dan sebaliknya. Diketahui bahwa lebar persegi panjang pertama sama dengan lebar persegi panjang kedua, yaitu $x$ cm. Berdasarkan prinsip kesebangunan, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{x}{9} & = \dfrac{4}{x} \\ x^2 & = 4 \times 9 = 36 \\ x & = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{6,\!0}.$
(Jawaban B)
Baca: Soal dan Pembahasan – Kesebangunan dan Kekongruenan
Soal Nomor 11
Jika panjang sisi-sisi segitiga $ABC$ berturut-turut adalah $AB=4~\text{cm}$, $BC=6~\text{cm},$ dan $AC=5~\text{cm},$ sedangkan $\angle BAC = \alpha,$ $\angle ABC = \beta,$ dan $\angle BCA = \gamma,$ maka $\sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma = \cdots \cdot$
A. $4 : 5 : 6$ D. $4 : 6 : 5$
B. $5 : 6 : 4$ E. $6 : 4 : 5$
C. $6 : 5 : 4$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh persamaan
$\dfrac{AB}{\sin \gamma} = \dfrac{BC}{\sin \alpha} = \dfrac{AC}{\sin \beta}.$
Berdasarkan aturan tersebut, diketahui bahwa nilai sinus sudut sebanding dengan panjang sisi di depan sudutnya. Sisi depan sudut $\alpha$ adalah $BC$, sisi depan sudut $\beta$ adalah $AC$, dan sisi depan sudut $\gamma$ adalah $AB.$
Dalam kasus ini, dapat ditulis
$\boxed{\begin{aligned} \sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma & = BC : AC : AB \\ & = 6 : 5 : 4 \end{aligned}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 12
Jika gambar di bawah merupakan grafik fungsi kuadrat $f$ dengan titik puncak $(-2,-1)$ dan melalui titik $(0,-5)$, maka nilai $f(2)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-17$ D. $-20$
B. $-18$ E. $-21$
C. $-19$
Rumus fungsi kuadrat bila berpuncak di $(x_p, y_p)$ dan melalui titik $(x, y)$ diberikan oleh $y- y_p = a(x-x_p)^2.$
Diketahui $x_p =-2, y_p=-1, x=0$, dan $y=-5$ sehingga didapat
$\begin{aligned}-5-(-1) & = a(0-(-2))^2 \\-4 & = a(2)^2 \\ a & =-1. \end{aligned}$
Untuk itu, rumus fungsi kuadratnya menjadi
$\begin{aligned} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ \Rightarrow y & =-(x+2)^2 + 1. \end{aligned}$
Untuk $x = 2$, diperoleh
$\boxed{\begin{aligned} f(2) = y & =-(2+2)^2-5 \\ & =-4^2+1=-17. \end{aligned}}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 13
Pada gambar di bawah, sebuah garis membelah persegi panjang menjadi dua bagian yang luasnya berbanding $1 : 6$. Berapakah perbandingan $a : b$?
A. $2 : 5$ D. $1 : 4$
B. $1 : 6$ E. $1 : 2$
C. $1 : 5$
Anggap luas persegi panjang sama dengan $1+6 = 7$. Tarik garis diagonal persegi panjang seperti gambar di bawah.
Perhatikan bahwa segitiga yang luasnya $1$ dan $2,\!5$ di atas memiliki tinggi yang sama sehingga panjang alasnya memiliki perbandingan yang sama dengan besar luasnya, yaitu $a : b = 1 : 2,\!5 = 2 : 5.$
(Jawaban A)
Soal Nomor 14
Untuk sepasang dadu tertentu, peluang munculnya $1, 2, 3, 4, 5,$ dan $6$ pada masing-masing dadu memiliki perbandingan $1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6.$ Peluang munculnya jumlah mata dadu 7 pada pelemparan sepasang dadu tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac18$ D. $\dfrac{4}{63}$
B. $\dfrac16$ E. $\dfrac{8}{63}$
C. $\dfrac37$
Jumlahan nilai perbandingan tersebut adalah $1+2+3+4+5+6=21$ sehingga dapat kita asumsikan bahwa peluang munculnya $1, 2, 3, 4, 5,$ dan $6$ pada pelemparan tiap dadu tersebut berturut-turut adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc} P(1) = \dfrac{1}{21} & P(4) = \dfrac{4}{21} \\ P(2) = \dfrac{2}{21} & P(5) = \dfrac{5}{21} \\ P(3) = \dfrac{3}{21} & P(6) = \dfrac{6}{21} \end{array}$$Ada beberapa kemungkinan agar jumlah kedua mata dadu sama dengan $7.$ Kita nyatakan dalam tabel di bawah beserta peluangnya.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Kemungkinan} & \text{Peluang} \\ \hline (1, 6), (6, 1) & 2 \cdot \dfrac{1}{21} \cdot \dfrac{6}{21} = \dfrac{12}{441} \\ (2, 5), (5,2) & 2 \cdot \dfrac{2}{21} \cdot \dfrac{5}{21} = \dfrac{20}{441} \\ (3, 4), (4, 3) & 2 \cdot \dfrac{3}{21} \cdot \dfrac{4}{21} = \dfrac{24}{441} \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian, peluang munculnya jumlah mata dadu $7$, dinotasikan $P(7),$ adalah jumlah peluang untuk masing-masing kemungkinan di atas, yakni
$$\begin{aligned} P(7) & = \dfrac{12}{441} + \dfrac{20}{441} + \dfrac{24}{441} \\ & = \dfrac{56}{441} \\ & = \dfrac{8}{63}. \end{aligned}$$Jadi, peluang munculnya jumlah mata dadu 7 pada pelemparan sepasang dadu tersebut adalah $\boxed{\dfrac{8}{63}}.$
(Jawaban E)
Soal Nomor 15
Seorang pemirsa mengikuti kuis di sebuah televisi. Kuis singkat tersebut memiliki $3$ pertanyaan yang terdiri dari dua pertanyaan benar-salah dan satu pertanyaan pilihan ganda dengan empat opsi. Dengan asumsi semua pilihan memiliki kemungkinan yang sama, peluang bahwa pemirsa tersebut menjawab semua pertanyaan dengan benar adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac13$ C. $\dfrac18$ E. $\dfrac{1}{32}$
B. $\dfrac14$ D. $\dfrac{1}{16}$
Pertanyaan benar-salah memiliki peluang $\dfrac12$ untuk dijawab benar, sedangkan pertanyaan pilihan ganda dengan empat opsi memiliki peluang $\dfrac14$ untuk dijawab benar. Kejadian menjawab ini tergolong kejadian yang saling lepas. Oleh karena itu, peluang ketika semua pertanyaan dijawab benar adalah $\boxed{\dfrac12 \times \dfrac12 \times \dfrac14 = \dfrac{1}{16}}.$
(Jawaban D)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang dan Kombinatorika (Tingkat SMA)
Soal Nomor 16
If $r$ and $s$ are the roots of the equation $x^2+bx+c=0$, where $b$ and $c$ are constant, is $rs < 0$?
(1). $b<0$
(2). $c<0$
- Statement (1) ONLY is sufficient to answer the question, but statement (2) ONLY is not.
- Statement (2) ONLY is sufficient to answer the question, but statement (1) ONLY is not.
- BOTH statements altogether are sufficient to answer the question.
- EACH statement is sufficient to answer the question.
- BOTH statements are not sufficient to answer the question.
Jumlah akar dan hasil kali akar dari persamaan kuadrat $x^2+bx+c = 0$ berturut-turut adalah
$$\begin{aligned} r + s & = -\dfrac{b}{1} = -b \\ rs & = \dfrac{c}{1} = c \end{aligned}$$Cek Pernyataan (1).
Bila $b < 0$, maka $r + s$ pasti bernilai positif, tetapi informasi ini tak cukup untuk menentukan apakah $rs < 0$.
Cek pernyataan (2).
Bila $c < 0$, maka $rs = c < 0$, sehingga pernyataan ini cukup untuk menjawab pertanyaan.
Dapat disimpulkan bahwa pernyataan (2) cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (1) saja tidak cukup.
(Jawaban B)
Soal Nomor 17
Berdasarkan gambar segitiga di bawah, berapakah nilai $z$?
(1). $AC = BA$.
(2). $x = 78$.
- Pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (2) SAJA tidak cukup.
- Pernyataan (2) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (1) SAJA tidak cukup.
- Dua pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU pernyataan SAJA tidak cukup.
- Salah satu pernyataan SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan.
- Pernyataan (1) dan pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
Cek Pernyataan (1).
Bila $AC = BA$, maka $x = y$. Dengan demikian, karena jumlah semua besar sudut pada segitiga adalah $180^\circ$, maka berlaku
$$\begin{aligned} x+y+z & = 180 \\ (y+y+z) & = 180 \\ 2y+z & = 180 \end{aligned}$$Karena nilai $z$ masih bergantung pada $y$, maka pertanyaan belum bisa terjawab jika menggunakan pernyataan (1).
Cek Pernyataan (2).
Diketahui $x = 78$, sehingga
$$\begin{aligned} 78+y+z & = 180 \\ y+z & = 102 \end{aligned}$$Karena nilai $z$ masih bergantung pada $y$, maka pertanyaan belum bisa terjawab jika menggunakan pernyataan (2).
Gunakan Kedua Pernyataan.
Kita akan peroleh SPLDV
$$\begin{cases} 2y+z & = 180 \\ y+z & = 102 \end{cases}$$Selesaikan dan akan diperoleh nilai $z = 24$.
Jadi, kedua pernyataan bersama-sama cukup untuk menjawab pertanyaan.
(Jawaban C)
Soal Nomor 18
Suatu poligon memiliki $10$ titik sudut. Manakah hubungan yang benar antara kuantitas $A$ dan $B$ berikut berdasarkan informasi yang diberikan?
- $A > B$.
- $B > A$.
- $A = B$.
- Informasi yang diberikan tidak cukup untuk memutuskan salah satu dari tiga pilihan di atas.
Banyaknya diagonal pada bangun poligon (segi-$n$) adalah $k = \dfrac12(n)(n-3).$
Untuk poligon dengan $10$ titik sudut (atau disebut segi-$10$), banyak diagonalnya adalah $k = \dfrac12(10)(7) = 35$. Ini berarti, nilai kuantitas $A = 35$.
Dari tabel, diketahui bahwa $B = 40$ sehingga $B > A$.
(Jawaban B)
Soal Nomor 19
Manakah hubungan yang benar antara kuantitas $A$ dan $B$ berikut berdasarkan informasi yang diberikan pada tabel?
- $A > B$.
- $B > A$.
- $A = B$.
- Informasi yang diberikan tidak cukup untuk memutuskan salah satu dari tiga pilihan di atas.
Pertama, akan dicari bentuk sederhana dari $A$.
Misalkan $$\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{ 2 + \cdots}}} = X,$$maka dengan menguadratkan kedua ruas dan melakukan operasi aljabar, kita peroleh
$$\begin{aligned} 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{ 2 + \cdots}}} & = X^2 \\ 2+X & = X^2 \\ X^2-X-2 & = 0 \\ (X-2)(X+1) & = 0 \end{aligned}$$Didapat $X = 2$ atau $X = -1$. Karena nilai akar kuadrat tidak mungkin negatif, maka diambil $X = 2$. Jadi, nilai kuantitas $A = 2$.
Berikutnya, akan dicari bentuk sederhana dari $B$.
Misalkan $$2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \cdots}} = Y,$$maka dengan menggunakan permisalan tersebut dan melakukan operasi aljabar, kita peroleh
$$\begin{aligned} 2 + \dfrac{1}{Y} & = Y \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ 2Y + 1 & = Y^2 \\ Y^2-2Y-1 & = 0 \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus ABC, Didapat $Y = 1 \pm \sqrt2$. Karena bentuk pecahannya cenderung bernilai positif, maka $Y = 1 + \sqrt2 \approx 2,4$. Jadi, nilai kuantitas $B = 1 + \sqrt2$.
Dapat disimpulkan bahwa $B > A$.
(Jawaban B)
Soal Nomor 20
Berikut data nilai pelajaran matematika dari 6 kelas (A, B, C, D, E, F) yang dikelompokkan berdasarkan tempat tinggal siswa.
Jika siswa yang mendapatkan nilai di atas rata-rata daerahnya bakal diberi penghargaan berupa tas sekolah, maka berapakah tas yang didapatkan siswa pada kedua kecamatan tersebut?
- Kecamatan Y = 5 tas, kecamatan Z = 4 tas.
- Kecamatan Y = 5 tas, kecamatan Z = 5 tas.
- Kecamatan Y = 6 tas, kecamatan Z = 5 tas.
- Kecamatan Y = 9 tas, kecamatan Z = 6 tas.
- Kecamatan Y = 6 tas, kecamatan Z = 6 tas.
Rata-rata nilai $15$ siswa di Kecamatan Y adalah
$$\begin{aligned} \overline{x}_y & = \dfrac{7+7+6+8+9+7+9+8+8+5+8+9+7+9+8}{15} \\ & = \dfrac{115}{15} < 8 \end{aligned}$$Jadi, nilai rata-ratanya kurang dari $8$. Ini berarti, banyak siswa yang mendapat tas sama dengan banyak siswa yang nilainya $8$ ke atas, yaitu sebanyak $9$ orang.
Rata-rata nilai $15$ siswa di Kecamatan Z adalah
$$\begin{aligned} \overline{x}_z & = \dfrac{8+9+7+7+8+6+7+6+8+6+7+8+7+8+7}{15} \\ & = \dfrac{109}{15} < 8 \end{aligned}$$Jadi, nilai rata-ratanya juga kurang dari $8$. Ini berarti, banyak siswa yang mendapat tas sama dengan banyak siswa yang nilainya $8$ ke atas, yaitu sebanyak $6$ orang.
(Jawaban D)
kereen
Banyakin lagi bang soal tka nya